第3章复习 - Representations of Data 数据表示
特点：保留原始数据，直观显示分布形状。
结构：茎（高位）+ 叶（低位）+ 键（说明）
用途：计算四分位数、中位数、众数；背靠背茎叶图用于对比两组数据
关键原则：条形面积与频率成正比
纵轴：频率密度 = 频率 ÷ 组宽
频率多边形：连接各条形顶端中点
组成：下四分位数（Q₁）、中位数（Q₂）、上四分位数（Q₃）
显示：最大值、最小值、异常值
用途：对比两组数据的位置和离散程度
判断公式：数值 > Q₃ + k(Q₃ - Q₁) 或 < Q₁ - k(Q₃ - Q₁)
k值：通常为1.5
处理：数据清洗时移除异常值
判断方法：
偏度公式：\( \frac{3(\text{均值} - \text{中位数})}{\text{标准差}} \)
原则：同时分析位置度量和离散度量
一致性：不可混合使用（如中位数与标准差）
选择：有极端值用中位数和四分位距，无极端值用均值和标准差
The stem and leaf diagram below shows the heights (in cm) of 25 students.
| Stem | Leaf | Key: 15|2 = 152 cm |
|---|---|---|
| 15 | 2 3 5 6 8 | (5) |
| 16 | 0 1 1 3 4 7 8 | (7) |
| 17 | 0 2 2 5 6 9 | (6) |
| 18 | 1 3 4 8 9 | (5) |
| 19 | 0 2 5 | (3) |
a) Draw the stem and leaf diagram.
b) Find Q₁, Q₂, Q₃.
c) Calculate the interquartile range (IQR).
答题区域：
A histogram shows the time (in minutes) spent on homework by 60 students. The table below summarises the data:
| Time (min) | 10 ≤ t < 20 | 20 ≤ t < 30 | 30 ≤ t < 40 | 40 ≤ t < 60 |
|---|---|---|---|---|
| Frequency | 10 | 20 | 15 | 15 |
a) Calculate the frequency density for each class.
b) Draw the histogram and frequency polygon.
答题区域：
The following data show the number of books read by 15 students in a month:
8, 12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35, 40, 45, 50, 80
a) Find Q₁, Q₂, Q₃ and IQR.
b) Determine if there are any outliers using k = 1.5.
答题区域：
Two box plots show the test scores of students in Class A and Class B.
| Class A | Class B | |
|---|---|---|
| Q₁ | 55 | 60 |
| Q₂ | 65 | 70 |
| Q₃ | 75 | 80 |
| Min | 40 | 50 |
| Max | 85 | 90 |
a) Draw box plots for both classes.
b) Compare the test scores of Class A and Class B in terms of location and spread.
答题区域：
For a data set, the mean is 50, the median is 45, and the standard deviation is 10.
a) Calculate the skewness using the formula \( \frac{3(\text{mean} - \text{median})}{\text{standard deviation}} \).
b) Describe the skewness and justify using the relationship between mean, median, and the skewness formula.
答题区域：
The back to back stem and leaf diagram below shows the number of goals scored by two football teams in a season.
| Team A | Stem | Team B |
|---|---|---|
| 8 6 5 | 0 | 7 9 |
| 9 7 5 3 | 1 | 8 6 4 2 |
| 8 6 4 2 | 2 | 9 7 5 3 |
| 5 3 1 | 3 | 8 6 4 |
| 2 | 4 | 7 5 |
Key: 1|5 = 15 goals
a) Find the median, Q₁, Q₃ for each team.
b) Compare the goal-scoring performance of Team A and Team B.
答题区域：
解答过程：
b) 四分位数计算：总数据量25
c) 四分位距计算：
IQR = Q₃ - Q₁ = 184 - 161 = 23 cm
解答过程：
a) 频率密度计算：频率密度 = 频率 ÷ 组宽
| 组别 | 频率 | 组宽 | 频率密度 |
|---|---|---|---|
| 10-20 | 10 | 10 | 1.0 |
| 20-30 | 20 | 10 | 2.0 |
| 30-40 | 15 | 10 | 1.5 |
| 40-60 | 15 | 20 | 0.75 |
解答过程：
a) 四分位数计算：数据已排序
b) 异常值判断：使用公式 Q₃ + k×IQR 和 Q₁ - k×IQR
解答过程：
b) 数据对比分析：
位置度量（Location）：
离散度量（Spread）：
解答过程：
a) 偏度计算：
\[ \text{偏度} = \frac{3(\text{mean} - \text{median})}{\text{standard deviation}} = \frac{3(50 - 45)}{10} = \frac{3 \times 5}{10} = 1.5 \]
b) 偏度描述与解释：
解答过程：
a) 各队统计量计算：
Team A数据：5,6,8,13,15,17,19,22,24,26,28,31,33,35,42（共15个）
Team B数据：7,9,12,14,16,18,23,25,27,29,34,36,38,45,47（共15个）
b) 进球表现对比：